反正弦、反余弦和反正切

简略答案：

在直角三角形中：

sin （正弦 函数）以角度 θ 为输入来计算 对边斜边 的比

sin-1 （反正弦）函数以

对边斜边 的比为输入来计算角度 θ

例子 （长度准确到一个小数位）：

sin(35°) = 对边 / 斜边

= 2.8/4.9

= 0.57……

sin-1(对边 / 斜边)

= sin-1(0.57……)

= 35°

余弦和正切也是一样的理念。

细节：

正弦、余弦和正切 都是基于直角三角形

它们是非常近似的函数……

我们这里会用 正弦函数 为例来解释，然后再看 反正弦。

正弦函数

角 θ 的 正弦 是：

角 θ 对面的边的长度

除以 斜边的长度

就是：

sin(θ) = 对边 / 斜边

例子：35°的正弦是多少？

用这个三角形（长度准确到一个小数位）：

sin(35°) = 对边 / 斜边

= 2.8/4.9

= 0.57……

正弦函数可以用来解这样的问题：

例子：用 正弦函数 来求 "d"

已知：

链与海底之间的角度是 39°

链的长度是 30 m.

我们求的是 "d"（向下的距离）。

开始：

sin 39° = 对边/斜边

sin 39° = d/30

换边：

d/30 = sin 39°

用计算器来求 sin 39°：

d/30 = 0.6293……

每边乘以 30：

d = 0.6293…… × 30

d = 18.88 （保留2个小数位）

深度 "d" 是 18.88 m

反正弦

但有时我们需要知道 角度。

这时候我们便要用到 "反正弦" 函数。

它告诉我们 " 什么角度 的正弦等于 对边/斜边？"

饭正弦的符号是 sin-1

例子：求角 "a"

已知：

向下的距离是 18.88 m。

链的长度是 30 m。

我们求的是角 "a"

开始：

sin a° = 对边/斜边

sin a° = 18.88/30

计算 18.88/30：

sin a° = 0.6293……

什么角的正弦等于 0.6293……？

用反正弦函数便知道。

反正弦：

a° = sin-1(0.6293……)

用计算器来求 sin-1(0.6293……)：

a° = 39.0° （准确到一小数位）

角 "a" 是 39.0°

它们是相反的！

正弦函数 sin 以 角度 为输入来计算 "对边/斜边" 的 比

反正弦函数 sin-1 以 "对边/斜边" 的 比 为输入来计算 角度。

例子：

正弦函数：

sin(30°) = 0.5

反正弦函数：

sin-1(0.5) = 30°

计算器

在计算器上，你按以下其中一个键（视乎计算器的牌子）：

'2ndF sin' 或 'shift sin'。

试试用 sin，然后用 sin-1 来看看

多于一个角度！

反正弦只会给你一个角度……但可能有更多答案。

例子：这是两个角度，每个的 对边/斜边 = 0.5

其实有无穷多的角度，因为你可以无穷次数地加（或减） 360°：

记着这个，因为有时你可能真的需要其他的角度！

总结

角 θ 的正弦是：

sin(θ) = 对边 / 斜边

饭正弦是：

sin-1 (对边 / 斜边) = θ

那么， "cos" 和 "tan"……呢？

概念是一样的，但用不同的边的比.

余弦

角 θ 的余弦是：

cos(θ) = 邻边 / 斜边

反余弦是：

cos-1 (邻变 / 斜边) = θ

例子：求角 a°

cos a° = 邻边 / 斜边

cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333……

a° = cos-1 (0.8333……) = 33.6° （保留一个小数位）

正切

角 θ 的正切是：

tan(θ) = 对边 / 邻边

反正切是：

tan-1 (对边 / 邻边) = θ

例子：求角 x°

tan x° = 对边 / 邻边

tan x° = 300/400 = 0.75

x° = tan-1 (0.75) = 36.9° （准确到小数点后一位）

其他写法

sin-1 也可以写成 asin 或 arcsin。

同样， cos-1 也可以写成 acos 或 arccos

tan-1 也可以写成 atan 或 arctan。

例子：

arcsin(y) 和 sin-1(y) 是一样的

atan(θ) 和 tan-1(θ) 是一样的

等等

图

最后，我们来看看正弦、反正弦、余弦和反余弦的图：

正弦

反正弦

余弦

反余弦

留意到图有什么特别吗？

它们有点相似，对不对？

但反正弦和反余弦的图不是像正弦和余弦的图那样"无穷延续"的……

以余弦的图为例。

以下是 余弦 和 反余弦 的图（画在一起）：

余弦和反余弦

它们是沿对角线的镜像

但为什么反余弦的上面和下面删除了（那些点不是函数的一部分）……？

因为当我们问：" cos-1(x) 是多少？"，函数 只可以给我们一个答案

一个或无穷多的答案

但我们说过其实有 无穷多的答案，正如图中的虚线显示的一样。

所以是有无穷多的答案的……

……但若你把 0.5 打进计算器，然后按 cos-1，它不能送回无穷多的答案……

所以我们订立了这个规矩：函数只能有一个答案。

故此，把图的上面和下面删除后，函数便只有一个答案，但我们不要忘记实际上是可能有其他答案的。

正切和反正切

这是正切和反正切的图。你可以看的到它们是沿对角线的镜像。

正切

反正切

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